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Departamento de Matematica ´
 PAUTA Certamen 3 MAT021
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 1. a) (15 Ptos.) Sean f; g : R ! R funciones derivables tales que g(1) = 2; g(e) = 1; g0(1) = e; g0(e) = 1=e.
b) (15 Ptos.) Bosqueje la grafica de la curva ´ y = f(x), donde Dom(f) = R - f-2; 0g, si
considerando las condiciones dadas en el problema se sigue que
que es la evaluacion pedida. ´
b) De las condiciones del problema se tiene que
Dom(f) = R - f-2; 0g, luego f no es continua en x = 0 y x = -2.
(esto nos indica que f tiene una discontinuidad reparable en x = 0).
 f posee una as´ıntota vertical de ecuacion ´ x = -2, y una as´ıntota oblicua de ecuacion ´ y = x - 6.
 f es una funcion decreciente sobre el conjunto ´ ] - 1; -2[[] - 2; 0[[]5; 7[ y creciente sobre el
 conjunto ]0; 5[[]7; +1[.
f alcanza un maximo relativo en ´ f(5) y m´ınimo relativo en f(7).
Por lo anterior, algunos graficos para unas posibles funciones como la descrita en el problema son ´
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 2. a) (15 Ptos.) Considere un triangulo de lados ´ a; b y c. Si los lados a y b tienen dimensiones de 1[m] y
2[m] respectivamente,y si el angulo ´ α comprendido entre ellos var´ıa de manera que el lado opuesto c
crece a razon de ´ p3[m=min], ¿a que raz ´ on est ´ a variando el ´ angulo ´ α en el instante cuando α = π=3?
b) (15 Ptos.) Considere una esfera de radio 5, y un cono inscrito en ella, de tal manera que el vertice del ´
cono coincida con el centro de la esfera, como se muestra en la siguiente figura. ¿Cual es el m ´ aximo ´
volumen que puede tener este cono? Recuerde que el volumen de un cono es π
Desarollo:
a) Note primeramente que desde el enunciado del problema se tiene que α = α(t) y c = c(t), t ≥ 0.
 Luego, desde el Teorema del Coseno se obtiene
 Ahora bien, para cierto t = t0 se tiene que α(t0) = π=3 entonces c(t0) = p3, y c0(t0) = p3, por lo
tanto
Esto es, α crece a una raz ´ on de ´ p3[rad=min], cuando α = π=3.
b) Una seccion transversal de las figuras involucradas en el problema es ´
de la cual se obtiene la relacion ´ h2 + r2 = 25.
Dado que el volumen de un cono es V (h; r) = π
es la funcion que determina el volumen de un cono inscrito, tal y como propone el enunciado del ´
 problema, con altura 0 < h < 5 y radio r = p25 - h2 (es claro que no tiene sentido analizar h = 0, y
 En lo que sigue se determinan los extremos relativos de V .
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 Entonces,
 que es el unico candidato para que ´ V alcance un maximo ´
 global (en las condiciones del problema).
 Ahora bien, note que V 00(h) = -2πh entonces V 00 5p3
3 ! < 0, esto es, V alcanza un maximo global ´
 en h0, en otras palabras, el maximo volumen que puede alcanzar un cono que satisface las condiciones ´
del enunciado es V 5p3
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 3. a) (10 Ptos.) Demuestre que si n 2 N
 primera condicion indica que la representaci ´ on ´
 en el plano complejo de z es un punto cuya distancia del origen se encuentra entre 2 y 4,
 ambos inclusive, mientras que la segunda condicion indica que tal punto tiene un ” ´ angulo”de ´
 inclinacion con respecto al eje Real entre ´ π
 representacion geom ´ etrica de ´ A es
ii) Si w = iz 2 B; z 2 A entonces, w = jzjcis(θ + π=2), esto es, la representacion geom ´ etrica de ´ w en
 el plano complejo es un punto cuya distancia del origen se encuentra entre 2 y 4, ambos inclusive,
 y con un ”angulo”de inclinaci ´ on con respecto al eje Real entre ´ π
geom ´ etrica de ´ B es una
 rotacion en ´ π
 radianes de la representacion geom ´ etrica de ´ A en sentido antihorario y con centro
 de rotacion el origen. ´
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 4. (20 Ptos.) Sea
Determine los valores de a y b en R de modo que el resto de dividir p(x) por x2 - 1 sea 2x + 1.
 Desarrollo:
 M´etodo 1: Utilizando el Algoritmo de la Division se tiene que ´